1. 定义

设$P$、 $Q$是两个命题，复合命题“如果 $P$，则 $Q$”，则成为$P$与$Q$的蕴含式，记作：

$$P \rightarrow Q$$
  1. 唯一使蕴含为假的情况是：前件真而后件假 。
  2. 如果前件为假，蕴含总是真——这被称为“空真” （vacuously true）。

真值表如下：

$P$$Q$$P \rightarrow Q$
111
100
011
001

2. 理解

2.1 蕴含是一种真值函数，而不是因果关系

日常语言中的“如果…那么…”常隐含因果关系或时间顺序，但逻辑蕴含只考虑真值，不要求因果联系，只是一个数学工具。

例如：“如果 2+2=4，那么巴黎是法国的首都” 在蕴含关系中为真，“如果太阳从西边升起，那么我是秦始皇” 在蕴含关系中也为真，但日常语言中就都显得很荒谬。

2.2 哪些自然语言表达了蕴含关系

虽然$P$、 $Q$不必有追求自然语言中的内在联系，但是自然语言中的蕴含却是必须要掌握的：

  • 如果$P$，那么 $Q$：这个很好直观，不用多说。
  • 因为$P$，所以 $Q$：同上。

接下来是让我迷惑了很久的，最后诀窍是限定**必须（仅当、只有、除非修饰的条件）**的条件就是后件（这只是一个不严谨技巧，拷问ChatGPT可以得到更严谨的推导过程，但是我觉得纠结自然语言的含混实在无聊，所以省略）：

  • $P$仅当$Q$：“仅当Q”是必须的含义，Q放后面，所以是$P \rightarrow Q$。
  • 只有$P$才$Q$：“只有P”是必须的含义，P放后面，所以是$Q \rightarrow P$。
  • 除非$P$才$Q$：“除非P”是必须的含义，P放后面，所以是$Q \rightarrow P$。
  • 除非$P$否则非$Q$：“除非P”是必须的含义，P放后面，“否则非”是双重否定修饰$\neg (\neg Q)$，所以还是$Q \rightarrow P$。

最后最灵魂的一个：

  • $P$除非$Q$，这里的“除非”的“unless”意思，比如“我去打球，除非下雨”，应该为$P \lor Q$， 等价于$\neg Q \rightarrow P$，同样等价于$\neg P \rightarrow Q$。

2.3 充分必要条件

从蕴含关系出发，理解充分条件、必要条件和充分必要条件会非常直观。

  • 如果$P \rightarrow Q$成立，则可以说 $P$ 是 $Q$ 的充分条件，同时$Q$是$P$的必要条件。
  • 如果$Q \rightarrow P$也成立，则说明$P$和$Q$互为充分必要条件。

这里不要带入现实语言的语义，只把它作为纯粹的数学工具理解：

  • 设$P$为“我是秦始皇”，$Q$为“太阳从西边升起”。
  • 在逻辑上，则$P \rightarrow Q$为真，$Q \rightarrow P$也为真，则可以得出：“我是秦始皇”是“太阳从西边升起”的充分必要条件。

2.4 为什么需要空真？

首先空真的存在是合理且必要的。

为什么合理？蕴含关系$P \rightarrow Q$（“如果 $P$，那么 $Q$”） 承诺的是：只要 $P$ 发生，$Q$ 就发生。 如果$P$为假的时候，没有违背这个承诺，认为$P$、$Q$两个命题的蕴含关系仍然为真。

空真的存在可以大大简化证明结构。 我们可以用反证法理解这一点：

  1. 在反证法中，我们假设 $\neg Q$ 为真，并尝试推出矛盾。
  2. 若在假设 $\neg Q$ 的前提下推出 $P$ 为假，则说明 $P \land \neg Q$ 不可能成立。
  3. 因为 $P \rightarrow Q$ 等价于 $\neg (P \land \neg Q)$，因此可得$P \rightarrow Q$成立。

其中等价关系可参考真值表：

$P$$Q$$P \rightarrow Q$$\neg P \lor Q$$P \land \neg Q$$\neg (P \land \neg Q)$
111101
100010
011101
001101

2.5 蕴含关系的推理规则

  • 肯定前件：如果$P \rightarrow Q$成立，并且 $P$ 为真，那么 $Q$ 为真（注：$P$为假，不能得出$Q$为假）。
  • 否定后件：如果$P \rightarrow Q$成立，并且 $Q$ 为假，那么 $P$ 为假（注：$Q$为真，不能得出$P$为真）。
  • 假言三段论：如果$P \rightarrow Q$成立，并且$Q \rightarrow R$成立，那么$P \rightarrow R$成立。